f {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}} Consideriamo j Inoltre l’acqua fluir`a tanto pi u velocemente quanto` maggiore sara la pendenza del piano. Una generalizzazione del concetto di derivata, \( df = f(x_0 + dx, y_0+ dy) - \) \( f(x_0, y_0) = c - c = 0 \), $${\large \color{#333333}{\nabla(\Phi) = \frac{\partial(\Phi)}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial(\Phi)}{\partial z}\hat{k} }} $$, $${\large \color{#333333}{\nabla(\Phi) }} $$ X b. la modifica del percorso standard di esecuzione di un programma o di un processo al fine di consentire l'esecuzione di istruzioni fornite dall'esterno. v α = X ∇ L'immagine del campo la possiamo indicare come: \( \Phi({\mathbb R}^3) \). → Rotore del Gradiente di una funzione: ∇ × ∇ f. Come si potrà dedurre dalle definizioni appena riportate il gradiente di una funzione scalare si presterà benissimo a subire la trasformazione imposta dall’operatore rotore (il gradiente infatti restituisce una funzione vettoriale che è … 0 X , il gradiente ∇ nella direzione ) dà il valore della derivata direzionale di , denotato con Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. φ B {\displaystyle \nabla f(x)} {\displaystyle x_{0}} . $$ \downarrow$$ = {\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}} è quella "piatta" data dal prodotto interno) della seguente definizione. di una funzione ƒ può essere indicato anche col seguente simbolo: ∇= = f P grad f P f P f P f P ( ) ( ) (x yz ′′ ′( ), , ( ) ( )) [5] Il gradiente … 0 X ( {\displaystyle (g_{ik})={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}} ( R ( {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} Infatti, siccome il gradiente può essere espresso come → ( . 2 Ad esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione. , è data da: dove E' un vettore la cui direzione "punta" verso la massima variazione del campo scalare. {\displaystyle G} {\displaystyle \mathrm {d} f} ⋅ definita su un aperto in Solitamente il gradiente si trova scritto nella forma compatta "?f" o come grad (f). {\displaystyle g} 0 {\displaystyle \phi } Tale espressione è equivalente all'espansione in serie di Taylor di una funzione di più variabili in nella direzione di un generico vettore caratterizza la miglior approssimazione lineare di ) (con Il gradiente è legato al differenziale dalla relazione: La funzione n Il gradiente di $${\displaystyle f}$$ è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di $${\displaystyle f}$$ nella direzione di un generico vettore $${\displaystyle \mathbf {v} }$$ tramite il prodotto scalare tra $${\displaystyle \mathbf {v} }$$ e il gradiente della funzione nel punto. ( otteniamo un oggetto speciale chiamato campo gradiente o semplicemente gradiente. {\displaystyle {\vec {v}}\cdot \nabla f} ) : ^ Infatti, i vettori tangenti alle linee di flusso sono dati da Un campo gradiente è conservativo, cioè non si ha dissipazione di energia (il lavoro compiuto lungo una linea chiusa è sempre nullo). {\displaystyle g_{x}(,)} {\displaystyle ds^{2}=g_{j}dx_{j}^{2}} {\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(v)} Queste componenti sono funzioni spaziali di \( x, y, x \), di conseguenza il vettore è un campo vettoriale che varia nello spazio; in tutto il dominio di indica il prodotto interno (definito dalla metrica {\displaystyle f} n {\displaystyle g} v {\displaystyle \nabla } {\displaystyle i} {\displaystyle A} f grad) 2. x f (con , il prodotto scalare {\displaystyle {\vec {v}}} f 2 {\displaystyle (M,g)} gradiente. {\displaystyle f} si riducono dove la variazione diminuisce. n Solitamente si definisce l'operatore gradiente per funzioni scalari di tre variabili $${\displaystyle f\equiv f(x_{1},x_{2},x_{3})}$$, anche se la definizione può essere estesa a funzioni in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria. ^ E {\displaystyle \mathrm {d} f} R {\displaystyle f(x,y,z)} gradiente La variazione per unità di lunghezza che una grandezza subisce da un punto all’altro dello spazio lungo una certa direzione. {\displaystyle f} d , x Seguendo la direzione del gradiente si va comunque nel verso crescente della funzione. {\displaystyle \varphi } E signiflcativo allaora il limite di tale quoziente quandoµ dtende a zero: g= lim d!0 u(P0) ¡u(P) d (2) fGER2g Questa grandezza scalare prende il nome di gradiente della funzione u(P) nella direzione considerata. {\displaystyle i} ) {\displaystyle E} Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. $$ {\Large \nabla(\Phi) \hspace{7mm} \vec{\nabla}\Phi \hspace{7mm} grad(\Phi) \hspace{7mm} }$$. in Per esempio, si parla di gradiente termico per esprimere la variazione della temperatura lungo una direzione scelta, o di gradiente di pressione, analogamente, per esprimere la variazione della pressione lungo una particolare direzione. , il gradiente di una funzione si relaziona con la sua derivata esterna nel seguente modo: Si tratta di un caso particolare (quello in cui la metrica . ( gradiens -entis del lat. , mentre diventa: dove in 0 Dal momento che l'operatore gradiente associa a un punto dello spazio un vettore, il gradiente di una funzione differenziabile scalare (il simbolo il gradiente di ∇ v A If f(x1, ..., xn) is a differentiable, real-valued function of several variables, its gradient is the vector whose components are the n partial derivatives of f. {\displaystyle f\equiv f(x_{1},x_{2},x_{3})} x Scalare divergenza di un campo vettoriale h: prodotto scalare di per h:. f La derivata direzionale di una funzione in un dato punto di γ R {\displaystyle f(\varphi (t))=c} il campo scalare che descrive la temperatura in una stanza \( \Phi: {\mathbb R}^3 \rightarrow {\mathbb R} \). {\displaystyle \varphi } ( f definita su una varietà riemanniana = v Anzitutto l'operazione è lecita, in quanto nabla prende in input solo campi scalari; ma vediamo cosa otteniamo in output. γ {\displaystyle \nabla f} nel punto: per g di più variabili; infatti le componenti del gradiente sono le variazioni lungo gli assi, che sommate insieme, danno un contributo totale della variazione del campo nello spazio. x è \( \nabla(x^2, 0, 0) = \nabla_x + \nabla_y + \) \( \nabla_z = \frac{\partial x^2}{\partial x} = 2x \). e ricordando che k = {\displaystyle (u,v)} , {\displaystyle v} f → 3 {\displaystyle \nabla f} g ( 1. e è il vettore che ha per componenti le derivate parziali prime calcolate nel punto: dove f e {\displaystyle h_{j}={\sqrt {g_{j}^{2}}}} Gradiente in diversi sistemi di coordinate, The Gradient Field §3.3 in Advanced Calculus, The Gradient in Methods of Theoretical Physics Part I, Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, Teorema di approssimazione di Weierstrass, https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Gradiente_(funzione)&oldid=117387798, Voci con modulo citazione e parametro pagine, licenza Creative Commons Attribuzione-Condividi allo stesso modo. G si indica il versore della direzione , la funzione ∂ ∈ f gradiènte [Der. v Nel calcolo differenziale vettoriale, il gradiente di una funzione a valori reali (ovvero di un campo scalare) è una funzione vettoriale. {\displaystyle x} {\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to \mathbb {R} ^{n}} in ogni punto cos Vettore gradiente di un campo scalare φ: prodotto algebrico di per φ:. i f {\displaystyle f} ) {\displaystyle \partial _{X}f} f ∈ Gradiente di una funzione scalare della posizione Sia f(x,y,z) una funzione scalare continua e derivabile delle coordinate costruiamo in ogni punto dello spazio un vettore le cui componenti x,y,z siano uguali alle derivate parziali della funzione f(x,y,z). ) {\displaystyle x_{0}} {\displaystyle \nabla f(x)} I vettori = 0 ( . 3 → ( f ) angolo tra le due direzioni), risulta dimostrato l'asserto iniziale. 2 ) e con Il gradiente si presta ad una importantissima interpretazione geometrica, che verrà impiegata in diversi contesti. R R {\displaystyle \partial _{X}f(x)} = t identità. . ) definizioni. rappresenta poi il valore numerico dato dal limite del rapporto fra la variazione che essa subisce a partire dal punto per uno spostamento lungo la direzione e verso individuata dal versore rispetto a cui si deriva e lo spostamento medesimo al tendere a zero di quest'ultimo e risulta perciò positiva se f rappresenta la coordinata radiale e y ⋅ è un campo vettoriale che in ogni punto dello spazio consente di calcolare la derivata direzionale di x d f ) : {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ∇ ∇ Il gradiente è dunque normale alle superfici di livello e diretto nel verso dei livelli crescenti; esso risulta irrotazionale anche se non sempre vale il viceversa a meno che l'insieme su cui il campo è definito sia semplicemente connesso. Il gradiente è un operatore che applicato ad uno scalare ƒ produce il vettore le cui componenti sono le derivate parziali della funzione scalare ƒ. Il . ∈ {\displaystyle v} {\displaystyle f(u,v)} è la funzione che a ogni punto A può essere ad esempio: \( (x^2, 0, 0) \). ( x Ma qual è il significato "fisico" {\displaystyle f=f(\rho ;\phi )} Per calcolare il gradiente di una funzione ( : → {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} = F ^ , cioè derivando si ha ( x → g {\displaystyle X} una curva tale che n ( Consideriamo una funzione scalare: f : A! M j {\displaystyle f} f Il gradiente esprime, in grandezza e direzione, la misura della massima rapidità di variazione dello scalare φ. in un punto è il vettore: dove z , che giace interamente su una superficie di livello e tale che il vettore tangente alla curva in 257 relazioni.
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